শহর সমাজসেবা অফিসার (হাসপাতাল) - ১৯.০১.২০০৭ — প্রশ্ন ও সমাধান

Q: সরল করুনঃ 3 log(36/25)+log(2/9) 3 -2 log(16/125)

log 2 — 3log36/25 + \log(2/9)^{3} - 2log16/125 = \log(36/25)^{3} + \log(2/9)^{3} - \log(16/125)^{2} = \log[(36/25)^{3} \times (2/9)^{3} / (16/125)^{2}] = \log[\frac{(36/25) \times (36/25) \times (36/25) \times (2/9) \times (2/9)}{(16/125) \times (16/125)}] = \log[(36/25) \times (36/25) \times (36/25) \times (2/9) \times (2/9) \times (125/16) \times (125/16)] = log2

Q: \log x 324=4 হবে, x=কত?

3\sqrt{2} — \log x 324 = 4 বা,x 4 = 324 বা,(x 2 ) 2 = (9 \times 2) 2 বা,x 2 = 9 \times 2 বা,x = \sqrt{9 \times 2} ∴ x = 3\sqrt{2}

Q: সমাধান করুনঃ x/2+y/3=1,x/3+y/2=1

৬/৫,৬/৫ — x/2 + y/3 = 1 \Rightarrow x/6 + y/9 = 1/3 x/3 + y/2 = 1 \Rightarrow x/6 + y/4 = 1/2 y/4 - y/9 = 1/2 - 1/3 \Rightarrow 5y/36 = 1/6 ∴ y = 6/5 এখন,x/2 + (6/5)/3 = 1 \Rightarrow x/2 =1 - 2/5 = 3/5 ∴ x = 6/5

Q: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 5 মিটার কম এবং প্রস্ত 3 মিটার অধিক হলে ক্ষেত্রফল ৯ বর্গমিটার কম হয।আবার দৈর্ঘ্য 3 মিটার ও প্রস্থ 2 মিটার বেশি হলে ক্ষেত্রফল 67 বর্গমিটার বেশি হয়। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করুণ।

দৈর্ঘ্য ১৭ মিটার, প্রস্থ ৯ মিটার — প্রথমে, আমরা আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x এবং প্রস্থ y ধরে নিই। প্রথম শর্ত থেকে আমরা পাইঃ (x-5)(y+3) = xy-9 => xy - 5y + 3x - 15 = xy - 9 => 3x - 5y = 6 ... (1) (x+3)(y+2) = xy + 67 => xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67 => 2x + 3y = 61 ... (2) সমীকরণ (1) কে 2 দিয়ে গুণ করি: =>6x - 10y = 12 ... (3) সমীকরণ (2) কে 3 দিয়ে গুণ করি: =>6x + 9y = 183 ... (4) (3) থেকে (4) বিয়োগ করি: =>6x - 10y = 12 => 6x + 9y = 183 => -19y = -171 => 19y = 171 => y = 9 এখন, y এর মান সমীকরণ (2)-তে বসাই: =>2x + 3(9) = 61 => 2x + 27 = 61 => 2x = 34 => x = 17 সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x = 17 মিটার এবং প্রস্থ y = 9 মিটার।

Q: একটি আয়তকার বাগানের পরিসীমা 56 মিটার এবং একটি কর্ন 20 মিটার। ঐ বাগানের সমান ক্ষেত্রফল-বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

8\sqrt{3} মিটার — মনে করি, বাগানের দৈর্ঘ্য = x মিটার বাগানের প্রস্থ =56/2 - x = 28 - x মিটার ∴ x 2 + (28 - x) 2 = 20 2 সমাধান করে পাই,x = 16, 12 ∴ বাগানের ক্ষেত্রফল =16 \times 12 = 192 বর্গমিটার তাহলে, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য =\sqrt{192} = 8\sqrt{3} মিটার

Q: দুটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 13 এবং সংখ্যা দুটির গুনফল 6 হলে সংখ্যা দুটির বর্গের অন্তর কত?

5 — মনে করি, সংখ্যা দুইটি x ও y ১ম শর্তে,x^{2} + y^{2} = 13 ............... (i) ২য় শর্তে,xy = 6 ........................ (ii) আমরা জানি,(x^{2} + y^{2})^{2} = (x^{2} - y^{2})^{2} + 4x^{2}y^{2} বা,(13)^{2} = (x^{2} - y^{2})^{2} + 4(6)^{2} বা,(x^{2} - y^{2})^{2} = 169 - 144 বা,(x^{2} - y^{2})^{2} = 25 ∴ x^{2} - y^{2} = 5 সুতরাং, সংখ্যা দুইটির বর্গের অন্তর 5।

Q: 1 3 +2 3 +3 3 +.......+n 3 =কত?

{n(n+1)/2} 2 — - n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি 1+2+3+.....+n = n(n + 1)/2 - n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 1^{2}+2^{2}+3^{2}+.......+n^{2} =n(n+1)(2n+1)/6 - n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 1 3 +2 3 +3 3 +.........+n 3 = {n(n+1)/2} 2

Q: ৫+ ৮ + ১১ + ১৪ +............... ধারাটির কততম পদ ৩০২ ?

১০০ তম পদ — এখানে, ধারার প্রথম পদ, a = ৫ সাধারণ অন্তর, d = ১১ - ৮ = ৩ ধরি, n তম পদ = ৩০২ বা, a + (n - 1)d = ৩০২ বা, ৫ + (n - 1)৩ = ৩০২ বা, ৩n + ২ = ৩০২ বা, ৩n = ৩০০ বা, n = ৩০০/৩ ∴ n = ১০০

প্রতিটি প্রশ্নের নির্ভুল উত্তর ও ব্যাখ্যা একসাথে — সম্পূর্ণ ফ্রি।

Dss Socialserviceofficer — previous year question solution with answer & explanation (free)

85প্রশ্ন

8বিষয়

উত্তর ও ব্যাখ্যাসহ

100%ফ্রি

প্রশ্নসমূহ

প্রশ্ন ১–১০ / ৮৫

১

সরল করুনঃ 3 log(36/25)+log(2/9) 3 -2 log(16/125)

ব্যাখ্যা দেখুন ›

3log36/25 + \log(2/9)^{3} - 2log16/125 = \log(36/25)^{3} + \log(2/9)^{3} - \log(16/125)^{2} = \log[(36/25)^{3} \times (2/9)^{3} / (16/125)^{2}] = \log[\frac{(36/25) \times (36/25) \times (36/25) \times (2/9) \times (2/9)}{(16/125) \times (16/125)}] = \log[(36/25) \times (36/25) \times (36/25) \times (2/9) \times (2/9) \times (125/16) \times (125/16)] = log2

২

$\log x 324=4$ হবে, x=কত?

ব্যাখ্যা দেখুন ›

\log x 324 = 4

বা,

x 4 = 324

বা,

(x 2 ) 2 = (9 \times 2) 2

বা,

x 2 = 9 \times 2

বা,

x = \sqrt{9 \times 2}

∴

x = 3\sqrt{2}

৩

সমাধান করুনঃ x/2+y/3=1,x/3+y/2=1

ব্যাখ্যা দেখুন ›

x/2 + y/3 = 1 \Rightarrow x/6 + y/9 = 1/3 x/3 + y/2 = 1 \Rightarrow x/6 + y/4 = 1/2 y/4 - y/9 = 1/2 - 1/3 \Rightarrow 5y/36 = 1/6

∴ y = 6/5 এখন,

x/2 + (6/5)/3 = 1 \Rightarrow x/2 =1 - 2/5 = 3/5

∴ x = 6/5

৪

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 5 মিটার কম এবং প্রস্ত 3 মিটার অধিক হলে ক্ষেত্রফল ৯ বর্গমিটার কম হয।আবার দৈর্ঘ্য 3 মিটার ও প্রস্থ 2 মিটার বেশি হলে ক্ষেত্রফল 67 বর্গমিটার বেশি হয়। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করুণ।

ব্যাখ্যা দেখুন ›

প্রথমে, আমরা আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x এবং প্রস্থ y ধরে নিই। প্রথম শর্ত থেকে আমরা পাইঃ (x-5)(y+3) = xy-9 => xy - 5y + 3x - 15 = xy - 9 => 3x - 5y = 6 ... (1) (x+3)(y+2) = xy + 67 => xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67 => 2x + 3y = 61 ... (2) সমীকরণ (1) কে 2 দিয়ে গুণ করি: =>

6x - 10y = 12 ... (3)

সমীকরণ (2) কে 3 দিয়ে গুণ করি: =>

6x + 9y = 183 ... (4) (3)

থেকে (4) বিয়োগ করি: =>

6x - 10y = 12 => 6x + 9y = 183 => -19y = -171 => 19y = 171 => y = 9

এখন, y এর মান সমীকরণ

(2)

-তে বসাই: =>

2x + 3(9) = 61 => 2x + 27 = 61 => 2x = 34 => x = 17

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x = 17 মিটার এবং প্রস্থ y = 9 মিটার।

৫

একটি আয়তকার বাগানের পরিসীমা 56 মিটার এবং একটি কর্ন 20 মিটার। ঐ বাগানের সমান ক্ষেত্রফল-বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ব্যাখ্যা দেখুন ›

মনে করি, বাগানের দৈর্ঘ্য = x মিটার বাগানের প্রস্থ =

56/2 - x = 28 - x

মিটার ∴ x 2 + (28 - x) 2 = 20 2 সমাধান করে পাই,

x = 16, 12

∴ বাগানের ক্ষেত্রফল =

16 \times 12 = 192

বর্গমিটার তাহলে, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য =

\sqrt{192} = 8\sqrt{3}

মিটার

৬

দুটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 13 এবং সংখ্যা দুটির গুনফল 6 হলে সংখ্যা দুটির বর্গের অন্তর কত?

ব্যাখ্যা দেখুন ›

মনে করি, সংখ্যা দুইটি x ও y ১ম শর্তে,

x^{2} + y^{2} = 13 ............... (i)

২য় শর্তে,

xy = 6 ........................ (ii)

আমরা জানি,

(x^{2} + y^{2})^{2} = (x^{2} - y^{2})^{2} + 4x^{2}y^{2}

বা,

(13)^{2} = (x^{2} - y^{2})^{2} + 4(6)^{2}

বা,

(x^{2} - y^{2})^{2} = 169 - 144

বা,

(x^{2} - y^{2})^{2} = 25

∴

x^{2} - y^{2} = 5

সুতরাং, সংখ্যা দুইটির বর্গের অন্তর 5।

৭

1 3 +2 3 +3 3 +.......+n 3 =কত?

ব্যাখ্যা দেখুন ›

- n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি 1+2+3+.....+n = n(n + 1)/2 - n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি

1^{2}+2^{2}+3^{2}+.......+n^{2} =n(n+1)(2n+1)/6 - n

সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 1 3 +2 3 +3 3 +.........+n 3 = {n(n+1)/2} 2

৮

৫+ ৮ + ১১ + ১৪ +............... ধারাটির কততম পদ ৩০২ ?

ব্যাখ্যা দেখুন ›

এখানে, ধারার প্রথম পদ, a = ৫ সাধারণ অন্তর, d = ১১ - ৮ = ৩ ধরি, n তম পদ = ৩০২ বা, a + (n - 1)d = ৩০২ বা, ৫ + (n - 1)৩ = ৩০২ বা, ৩n + ২ = ৩০২ বা, ৩n = ৩০০ বা, n = ৩০০/৩ ∴ n = ১০০

৯

যদি x 2 -2x+4=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α,β হয়, তাহলে α n +β n = কত ?

ব্যাখ্যা দেখুন ›

1. প্রথমে, আমরা সমীকরণটি পর্যালোচনা করি: x 2 - 2x + 4 = 0 2. এই সমীকরণের সাথে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ ax 2 + bx + c = 0 তুলনা করলে: a = 1, b = -2, c = 4 3. Vieta's formulas অনুযায়ী, যদি α এবং β মূলদ্বয় হয়, তাহলে: α + β =-

b/a = 2

αβ =

c/a = 4 4.

এখন, α n + β n এর মান নির্ণয়ের জন্য আমরা De Moivre's formula ব্যবহার করব। 5. α এবং β কে polar form এ প্রকাশ করি: α =

r(\cos \theta + i \sin \theta )

β =

r(\cos \theta - i \sin \theta )

যেখানে, r 2 = αβ = 4, তাই r = 2 6. এখন,

\cos \theta

=(α + β)

/(2r) = 2/(2*2) = 1/2

এটি π/3 কোণের cos মান। 7. সুতরাং, α =

2(\cos(\pi /3) + i \sin(\pi /3))

β =

2(\cos(\pi /3) - i \sin(\pi /3)) 8. De Moivre

's formula অনুযায়ী: α n + β

n = 2 n(\cos(n\pi /3) + i \sin(n\pi /3)) + 2 n(\cos(n\pi /3) - i \sin(n\pi /3)) = 2 n+1 \cos(n\pi /3)

১০

১০০৮ সংখ্যাটির কয়টি ভাজক আছে ?

ব্যাখ্যা দেখুন ›

1008 = 2X2X2X2X3X3X7 = 2 4 X3 2 X7 1 ∴ 1008 এর ভাজক সংখ্যা =

{(4+1) X (2+1) X (1+1)} = 30

পৃষ্ঠা ১ / ৯

…

মোট ৮৫টি প্রশ্ন — প্রতিটির নির্ভুল উত্তর ও ব্যাখ্যাসহ।