বাংলাদেশ রেলওয়ে (ট্রেন কন্ট্রোলার) -২৪.১.২০২৬ প্রশ্ন ও সমাধান

Q: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার এবং প্রস্থ ১০ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

50\sqrt{5} — দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য =15 মিটার আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ =10 মিটার মনে করি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী আমরা জানি, (দৈর্ঘ্য)^{2}+(প্রস্থ)^{2}=(কর্ণ)^{2} বা,x^{2} + (10)^{2} = (15)^{2} বা,x^{2} + 100 = 225 বা,x^{2} = 225 - 100 বা,x^{2} = 125 বা,x = \sqrt{125} বা,x = \sqrt{25 \times 5} ∴ x = 5\sqrt{5} মিটার আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য \times প্রস্থ =5\sqrt{5} \times 10 বর্গমিটার =50\sqrt{5} বর্গমিটার। শর্টকাট টেকনিক: কর্ণের বর্গ থেকে প্রস্থের বর্গ বিয়োগ করে রুট করলে দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়। দৈর্ঘ্য =\sqrt{15^{2} - 10^{2}} = \sqrt{225 - 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য \times প্রস্থ =5\sqrt{5} \times 10 = 50\sqrt{5}

Q: সংখ্যাগুলোর মধ্যক নির্ণয় করুন- ২৩, ১১, ২৫, ১৫, ২১, ১২, ১৭, ১৮, ২২, ২৭, ২৯, ৩০, ২৬. ১৯

২১.৫ — বিস্তারিত সমাধান: উপাত্তগুলোকে মানের ক্রমানুসারে (ছোট থেকে বড়) সাজিয়ে পাই: 11, 12, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 30 এখানে মোট উপাত্তের সংখ্যা,n = 14, যা একটি জোড় সংখ্যা। উপাত্তের সংখ্যা জোড় হলে মধ্যক নির্ণয়ের সূত্র: মধ্যক =(n/2 তম পদ + (n/2 + 1) তম পদ) / 2 এখানে, n/2 তম পদ =14/2 তম পদ = 7 তম পদ =21 (n/2 + 1) তম পদ =(7 + 1) তম পদ = 8 তম পদ =22 ∴ মধ্যক =(21 + 22) / 2 = 43 / 2 = 21.5

Q: ৭, ১১, ১২, ১৪, ১৭, ১৭, ২২, ? প্রশ্নবোধক স্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে?

২০ — প্রদত্ত ধারাটি হলো: 7, 11, 12, 14, 17, 17, 22, ? লক্ষ্য করলে দেখা যায়, এটি একটি মিশ্র ধারা (Mixed Series), যেখানে দুটি সমান্তর ধারা একসাথে রয়েছে। ১ম ধারা (বিজোড় অবস্থানের পদ): 7, 12, 17, 22, ... এখানে পার্থক্য: 12 - 7 = 5; 17 - 12 = 5; 22 - 17 = 5(প্রতিবার 5 করে বাড়ছে)। ২য় ধারা (জোড় অবস্থানের পদ): 11, 14, 17, ? এখানে পার্থক্য: 14 - 11 = 3; 17 - 14 = 3(প্রতিবার 3 করে বাড়ছে)। প্রশ্নবোধক স্থানটি জোড় অবস্থানে (অষ্টম পদ) রয়েছে। সুতরাং, ২য় ধারা অনুযায়ী পরবর্তী পদটি হবে: = আগের পদ + পার্থক্য =17 + 3 = 20 ∴ প্রশ্নবোধক স্থানে সংখ্যাটি বসবে 20।

Q: পরপর তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে, তাদের যোগফল কত?

১৫ — বিস্তারিত সমাধান: ধরি, তিনটি ক্রমিক সংখ্যা হলো: (x - 1), x এবং (x + 1)। শর্তমতে, এদের গুণফল =120 বা,(x - 1) \times x \times (x + 1) = 120 বা,x(x^{2} - 1) = 120 বা,x^{3} - x = 120 এই সমীকরণ সমাধান করা সময়সাপেক্ষ। তাই আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতিতে সহজে বের করতে পারি। 120 কে ক্রমিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি: 120 = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 এখান থেকে পরপর তিনটি সংখ্যা আমাদের খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল 120। আমরা দেখি,4 \times 5 \times 6 = 120 সুতরাং, সংখ্যা তিনটি হলো: 4, 5 এবং 6। সংখ্যা তিনটির যোগফল =4 + 5 + 6 = 15 । শর্টকাট টেকনিক: প্রদত্ত গুণফলটির কাছাকাছি এমন একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যার মূল বের করার চেষ্টা করুন যা মাঝখানের সংখ্যা হতে পারে। 5 \times 5 \times 5 = 125, যা 120 এর খুব কাছাকাছি। তাই মাঝখানের সংখ্যাটি 5 হওয়ার সম্ভাবনা বেশি। যদি মাঝখানের সংখ্যাটি 5 হয়, তবে আগেরটি 4 এবং পরেরটি 6। 4 \times 5 \times 6 = 120(মিলে গেছে)। যোগফল =4 + 5 + 6 = 15।

Q: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সে.মি. ও ১৩৮৬ বর্গ সে.মি.। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

৪২ সে.মি. — দেওয়া আছে, বৃত্তের পরিধি =132 সে.মি. এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল =1386 বর্গ সে.মি. আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি =2\pi r বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr 2 (যেখানে r = বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং \pi = 22 / 7 ) প্রশ্নমতে,2\pi r = 132 বা,2 \times 22 / 7 \times r = 132 বা,44 / 7 \times r = 132 বা,44r = 132 \times 7 বা,r = 132 \times 7 / 44 বা,r = 3 \times 7 ∴ r = 21 সুতরাং, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 21 সে.মি. আমরা জানি, বৃত্তের ব্যাসই হলো বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা। অতএব, বৃহত্তম জ্যা = ব্যাস =2r = 2 \times 21 সে.মি.=42 সে.মি. উত্তর: ৪২ সে.মি. শর্টকাট টেকনিক (MCQ এর জন্য): পরিধি 2\pi r = 132 হলে,\pi r = 66। আমরা জানি ব্যাস 2r এবং পরিধি π(2r)। তাই ব্যাস = পরিধি/\pi = 132 / (22/7) = 132 \times 7 / 22 = 6 \times 7 = 42। (ক্ষেত্রফলের মানটি এখানে প্রয়োজন নেই)।

Q: একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

π বর্গ একক — বিস্তারিত সমাধান: দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ,r = 1 একক আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো = πr 2 বর্গ একক এখানে r এর মান 1 বসিয়ে পাই, ক্ষেত্রফল =\pi \times (1) 2 বর্গ একক =\pi \times 1 বর্গ একক = π বর্গ একক উত্তর: π বর্গ একক

Q: 1 ⁄ (\sqrt{3} + \sqrt{2})= কত ?

\sqrt{3} - \sqrt{2} — লব ও হরকে (\sqrt{3} - \sqrt{2}) দ্বারা গুণ করে পাই,=1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2}) ⁄ (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) ⁄ {(\sqrt{3}) 2 - (\sqrt{2}) 2 }[সূত্র: (a+b)(a-b) = a 2 - b 2 ] = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) ⁄ (3 - 2) = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) ⁄ 1 = \sqrt{3} - \sqrt{2}

Q: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল তাকে কি বলে?

সামান্তরিক — যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল তাকে সামান্তরিক বলে। সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলোও পরস্পর সমান হয়। অন্য অপশনগুলোর ব্যাখ্যা: ১. ট্রাপিজিয়াম: এক জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল কিন্তু সমান নয়। ৩. আয়তক্ষেত্র: বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল কিন্তু প্রতিটি কোণ সমকোণ (৯০°)। এটিও এক ধরনের সামান্তরিক, কিন্তু সাধারণ সংজ্ঞা হিসেবে 'সামান্তরিক' শব্দটিই মূল বা জেনেরিক উত্তর। ৪. রম্বস: সবগুলো বাহু সমান। যেহেতু প্রশ্নে কোণের সমকোণ হওয়ার কোনো শর্ত নেই এবং সব বাহু সমান হওয়ার শর্ত নেই, তাই এটি সাধারণ সামান্তরিক।

১

একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার এবং প্রস্থ ১০ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

ব্যাখ্যা দেখুন ›

দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য =

15

মিটার আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ =

10

মিটার মনে করি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী আমরা জানি, (দৈর্ঘ্য)

^{2}

+(প্রস্থ)

^{2}

=(কর্ণ)

^{2}

বা,

x^{2} + (10)^{2} = (15)^{2}

বা,

x^{2} + 100 = 225

বা,

x^{2} = 225 - 100

বা,

x^{2} = 125

বা,

x = \sqrt{125}

বা,

x = \sqrt{25 \times 5}

∴

x = 5\sqrt{5}

মিটার আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য

\times

প্রস্থ =

5\sqrt{5} \times 10

বর্গমিটার =

50\sqrt{5}

বর্গমিটার। শর্টকাট টেকনিক: কর্ণের বর্গ থেকে প্রস্থের বর্গ বিয়োগ করে রুট করলে দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়। দৈর্ঘ্য =

\sqrt{15^{2} - 10^{2}} = \sqrt{225 - 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}

ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য

\times

প্রস্থ =

5\sqrt{5} \times 10 = 50\sqrt{5}

২

সংখ্যাগুলোর মধ্যক নির্ণয় করুন- ২৩, ১১, ২৫, ১৫, ২১, ১২, ১৭, ১৮, ২২, ২৭, ২৯, ৩০, ২৬. ১৯

ব্যাখ্যা দেখুন ›

বিস্তারিত সমাধান: উপাত্তগুলোকে মানের ক্রমানুসারে (ছোট থেকে বড়) সাজিয়ে পাই: 11, 12, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 30 এখানে মোট উপাত্তের সংখ্যা,

n = 14

, যা একটি জোড় সংখ্যা। উপাত্তের সংখ্যা জোড় হলে মধ্যক নির্ণয়ের সূত্র: মধ্যক =

(n/2

তম পদ + (n/2 + 1) তম পদ) / 2 এখানে, n/2 তম পদ =

14/2

তম পদ = 7 তম পদ =

21 (n/2 + 1)

তম পদ =

(7 + 1)

তম পদ = 8 তম পদ =

22

∴ মধ্যক =

(21 + 22) / 2 = 43 / 2 = 21.5

৩

৭, ১১, ১২, ১৪, ১৭, ১৭, ২২, ? প্রশ্নবোধক স্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে?

ব্যাখ্যা দেখুন ›

প্রদত্ত ধারাটি হলো: 7, 11, 12, 14, 17, 17, 22, ? লক্ষ্য করলে দেখা যায়, এটি একটি মিশ্র ধারা (Mixed Series), যেখানে দুটি সমান্তর ধারা একসাথে রয়েছে। ১ম ধারা (বিজোড় অবস্থানের পদ): 7, 12, 17, 22, ... এখানে পার্থক্য: 12 - 7 = 5; 17 - 12 = 5;

22 - 17 = 5

(প্রতিবার 5 করে বাড়ছে)। ২য় ধারা (জোড় অবস্থানের পদ): 11, 14, 17, ? এখানে পার্থক্য: 14 - 11 = 3;

17 - 14 = 3

(প্রতিবার 3 করে বাড়ছে)। প্রশ্নবোধক স্থানটি জোড় অবস্থানে (অষ্টম পদ) রয়েছে। সুতরাং, ২য় ধারা অনুযায়ী পরবর্তী পদটি হবে: = আগের পদ + পার্থক্য =

17 + 3 = 20

∴ প্রশ্নবোধক স্থানে সংখ্যাটি বসবে 20।

৪

পরপর তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে, তাদের যোগফল কত?

ব্যাখ্যা দেখুন ›

বিস্তারিত সমাধান: ধরি, তিনটি ক্রমিক সংখ্যা হলো: (x - 1), x এবং (x + 1)। শর্তমতে, এদের গুণফল =

120

বা,

(x - 1) \times x \times (x + 1) = 120

বা,

x(x^{2} - 1) = 120

বা,

x^{3} - x = 120

এই সমীকরণ সমাধান করা সময়সাপেক্ষ। তাই আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতিতে সহজে বের করতে পারি। 120 কে ক্রমিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:

120 = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5

এখান থেকে পরপর তিনটি সংখ্যা আমাদের খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল 120। আমরা দেখি,

4 \times 5 \times 6 = 120

সুতরাং, সংখ্যা তিনটি হলো: 4, 5 এবং 6। সংখ্যা তিনটির যোগফল =

4 + 5 + 6 = 15

। শর্টকাট টেকনিক: প্রদত্ত গুণফলটির কাছাকাছি এমন একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যার মূল বের করার চেষ্টা করুন যা মাঝখানের সংখ্যা হতে পারে।

5 \times 5 \times 5 = 125

, যা 120 এর খুব কাছাকাছি। তাই মাঝখানের সংখ্যাটি 5 হওয়ার সম্ভাবনা বেশি। যদি মাঝখানের সংখ্যাটি 5 হয়, তবে আগেরটি 4 এবং পরেরটি 6।

4 \times 5 \times 6 = 120

(মিলে গেছে)। যোগফল =

4 + 5 + 6 = 15

।

৫

একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সে.মি. ও ১৩৮৬ বর্গ সে.মি.। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

ব্যাখ্যা দেখুন ›

দেওয়া আছে, বৃত্তের পরিধি =

132

সে.মি. এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল =

1386

বর্গ সে.মি. আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি =

2\pi r

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr 2 (যেখানে r = বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং

\pi = 22 / 7 )

প্রশ্নমতে,

2\pi r = 132

বা,

2 \times 22 / 7 \times r = 132

বা,

44 / 7 \times r = 132

বা,

44r = 132 \times 7

বা,

r = 132 \times 7 / 44

বা,

r = 3 \times 7

∴ r = 21 সুতরাং, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 21 সে.মি. আমরা জানি, বৃত্তের ব্যাসই হলো বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা। অতএব, বৃহত্তম জ্যা = ব্যাস =

2r = 2 \times 21

সে.মি.=

42

সে.মি. উত্তর: ৪২ সে.মি. শর্টকাট টেকনিক (MCQ এর জন্য): পরিধি

2\pi r = 132

হলে,

\pi r = 66

। আমরা জানি ব্যাস 2r এবং পরিধি π(2r)। তাই ব্যাস = পরিধি

/\pi = 132 / (22/7) = 132 \times 7 / 22 = 6 \times 7 = 42

। (ক্ষেত্রফলের মানটি এখানে প্রয়োজন নেই)।

৬

একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

ব্যাখ্যা দেখুন ›

বিস্তারিত সমাধান: দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ,

r = 1

একক আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো = πr 2 বর্গ একক এখানে r এর মান 1 বসিয়ে পাই, ক্ষেত্রফল =

\pi \times (1) 2

বর্গ একক =

\pi \times 1

বর্গ একক = π বর্গ একক উত্তর: π বর্গ একক

৭

1 ⁄ $(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ = কত ?

ব্যাখ্যা দেখুন ›

লব ও হরকে

(\sqrt{3} - \sqrt{2})

দ্বারা গুণ করে পাই,=

1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})

⁄

(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3} - \sqrt{2})

⁄

{(\sqrt{3}) 2 - (\sqrt{2}) 2 }

[সূত্র:

(a+b)(a-b) = a 2 - b 2 ] = (\sqrt{3} - \sqrt{2})

⁄

(3 - 2) = (\sqrt{3} - \sqrt{2})

⁄

1 = \sqrt{3} - \sqrt{2}

৮

যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল তাকে কি বলে?

ব্যাখ্যা দেখুন ›

যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল তাকে সামান্তরিক বলে। সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলোও পরস্পর সমান হয়। অন্য অপশনগুলোর ব্যাখ্যা: ১. ট্রাপিজিয়াম: এক জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল কিন্তু সমান নয়। ৩. আয়তক্ষেত্র: বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল কিন্তু প্রতিটি কোণ সমকোণ (৯০°)। এটিও এক ধরনের সামান্তরিক, কিন্তু সাধারণ সংজ্ঞা হিসেবে 'সামান্তরিক' শব্দটিই মূল বা জেনেরিক উত্তর। ৪. রম্বস: সবগুলো বাহু সমান। যেহেতু প্রশ্নে কোণের সমকোণ হওয়ার কোনো শর্ত নেই এবং সব বাহু সমান হওয়ার শর্ত নেই, তাই এটি সাধারণ সামান্তরিক।

৯

০.৩ এর ২০% = কত ?

ব্যাখ্যা দেখুন ›

বিস্তারিত সমাধান: প্রদত্ত রাশি: 0.3 এর 20% আমরা জানি, 'এর' মানে হলো গুণ

(\times )

এবং '%' মানে হলো 1 ⁄ 100 অতএব,=

0.3 \times 20 / 100 = 3 / 10 \times 20 / 100

[দশমিক উঠিয়ে নিচে ১০ আনা হলো]=

3 \times 20 / 1000 = 60 / 1000 = 6 / 100 = 0.06

উত্তর: ০.০৬ শর্টকাট টেকনিক: সংখ্যা গুণ করে দশমিক সমন্বয় করা সহজ।

3 \times 20 = 60

এখানে 0.3 এ দশমিকের পর ১ ঘর এবং % এর জন্য দশমিক বামে ২ ঘর সরবে। মোট (1 + 2) = 3 ঘর বামে দশমিক বসবে। 60 এর ৩ ঘর বামে দশমিক বসালে: .060 বা 0.06। অথবা,

0.3 \times 0.2 = 0.06

(কারণ 20% =

0.2)

১০

a 3 -9+(a+1) 3 রাশিটির একটি উৎপাদক (a - 1) হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

ব্যাখ্যা দেখুন ›

বিস্তারিত ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি =

a 3 - 9 + (a + 1) 3

ধরি,

f(a) = a 3 - 9 + (a + 1) 3

যেহেতু (a - 1) রাশিটির একটি উৎপাদক, তাই আমরা সরাসরি উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি। প্রদত্ত রাশি =

a 3 - 9 + (a 3 + 3a 2 .1 + 3a.1 2 + 1 3 )

[সূত্র: (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ] = a 3 - 9 + a 3 + 3a 2 + 3a + 1 = 2a 3 + 3a 2 + 3a - 8 এখন, যেহেতু (a - 1) একটি উৎপাদক, আমরা ভ্যানিশিং মেথড বা উৎপাদক উপপাদ্যের সাহায্যে একে বিশ্লেষণ করতে পারি। আমরা রাশিটিকে এমনভাবে সাজাবো যেন (a - 1) কমন নেওয়া যায়। =

2a 3 - 2a 2 + 5a 2 - 5a + 8a - 8 = 2a 2 (a - 1) + 5a(a - 1) + 8(a - 1) = (a - 1) (2a 2 + 5a + 8)

সুতরাং, একটি উৎপাদক (a - 1) হলে অপর উৎপাদকটি হলো (2a 2 + 5a + 8) । শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলের জন্য): রাশিটি হলো: 2a 3 + 3a 2 + 3a - 8 সিন্থেটিক ডিভিশন বা শুধু সহগ নিয়ে ভাগ করে দ্রুত বের করা যায়। (a-1) দিয়ে ভাগ করলে: প্রথম পদ: 2a 3 / a = 2a 2 শেষ পদ: -8 / -1 = +8 অপশনগুলোর মধ্যে একমাত্র প্রথম অপশনের শুরু 2a 2 এবং শেষ পদ +8 আছে। তাই 2a 2 + 5a + 8 সঠিক।

বাংলাদেশ রেলওয়ে (ট্রেন কন্ট্রোলার) -২৪.১.২০২৬ — প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্নসমূহ